Правило односторонних углов

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.
∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)

Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 — х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.

Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
х + 30° + х = 180°.

Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.
∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° — 75° = 105°.

Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.

Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.

Найдем остальные углы (рис. 8):

∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° — ∠ 3.

Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Внутренние односторонние углы

Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

∠1 и ∠2

∠3 и ∠4

— внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

Если a ∥ b, то

∠1 + ∠2 = 180º

(как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

∠3 + ∠4 =180º

А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

∠1 = ∠2

тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

Параллельные прямые

Параллельные прямые . Расстояние между параллельными прямыми .
Углы с соответственно параллельными сторонами .

Соответственные углы .
Внутренние и внешние накрест лежащие углы .

Внутренние и внешние односторонние углы .

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами .
Пропорциональные отрезки . Теорема Фалеса.

Две прямые AB и CD ( рис.11 ) называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Обозначение: AB || CD . Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Угол между двумя параллельными лучами равен нулю, если у них одинаковые направления, и 180 ° , если их направления противоположны. Все перпендикуляры ( AB , CD , EF , рис.12 ) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM , перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов ( рис.13 ), которые попарно называются:

1) соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно

равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8 );

2) внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 5; 3 и 6 ); они попарно равны;

3) внешние накрест лежащие углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); они попарно равны;

4) внутренние односторонние углы ( 3 и 5; 4 и 6 ); их сумма равна 180 °

( 3 + 5 = 180 ° ; 4 + 6 = 180 ° );

5) внешние односторонние углы ( 1 и 7; 2 и 8 ); их сумма равна 180 °

( 1 + 7 = 180 ° ; 2 + 8 = 180 ° ).

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые, 1 = 2 , рис.14 ), либо их сумма равна 180 ° ( 3 + 4 = 180 ° , рис.15 ).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна 180 ° .

Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми ( рис.16 ) стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:

Науколандия

Статьи по естественным наукам и математике

Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Существует теорема о том, что прямые параллельны, если при пересечении их секущей накрест лежащие углы оказываются равными. Здесь дано — равные накрест лежащие углы при секущей, следствие — прямые параллельны.

Существует обратная теорема: накрест лежащие углы при секущей равны, если она пересекает параллельные прямые . В данном случае дано — параллельные прямые, следствие — равенство накрест лежащих углов при секущей.

Не является ли обратная теорема «избыточной»? Нельзя ли просто сказать, что только у параллельных прямых накрест лежащие углы при секущей равны? Но может оказаться, эти углы равны и у каких-то не у параллельных прямых. То есть у параллельных они однозначно равны, но есть еще другие прямые, тоже с равными углами. Обратная теорема исключает такую возможность.

Доказательство обратной теоремы сводится к следующему.

Предполагается обратное, т. е. что при данных параллельных прямых накрест лежащие углы при секущей оказываются не равны. Пусть даны параллельные прямые a и b, которые пересекает секущая c. Предположим, что накрест лежащие углы 1 и 2 не равны друг другу: ∠1 ≠ ∠2.

Через точку пересечения секущей с одной из параллельных прямых (b) проведем прямую d так, чтобы получился равный углу 1 накрест лежащий угол 3: ∠1 = ∠3.

Прямая теорема утверждает, что когда накрест лежащие углы при секущей равны, то прямые параллельны. Значит, прямые a и d параллельны: a || d.

Получается, что через одну точку (в которой пересекаются прямые b, c, d) проведены две параллельные прямые (b и d), которые параллельны прямой a. Однако из ранее доказанной теоремы такого быть не может: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну параллельную прямую.

Следовательно, предположение о том, что ∠1 ≠ ∠2, не верно. Поэтому ∠1 = ∠2. Нет никакой иной прямой, проходящей через заданную точку, которая давала бы равные углы при секущей, кроме единственной параллельной.

Смотрите еще:

  • Решение задач на сцепленное наследование Готовые решения задач по генетике. Задачи 1-10 | Явления сцепления генов. Кроссинговер Задача 1Какие типы гамет и сколько даст организм: а) при полном сцеплении генов А и В;б) если расстояние между генами А и В - 12 […]
  • При каких условиях действует закон убывающей производительности фактора производства Экономическая теория. Тема 9. Издержки и доходы предприятий Решение тестов онлайн На нашем сайте представлена лишь часть ответов из теста по дисциплине "Экономическая теория". Если у Вас нет времени на подготовку к тестированию или […]
  • Лишили прав на три месяца Лишение водительских прав в 2018 году За что могут лишить водительских прав? Лишение прав предусматривает несколько статей КоАП РФ. Ниже приведен неполный список наиболее распространенных нарушений с классификацией в зависимости от […]
  • Адвокат днепровская Днепровский районный суд. Адвокат Днепровского района Консультации адвоката по вопросам судебных разбирательств в Днепровском районном суде города Киева от 200 гривен . Контактная информация адвоката Днепровского района Телефон: • […]
  • Собственность теплотрассы Собственность теплотрассы Перечень документации, необходимой для передачи объектов и (или) тепловых сетей в муниципальную собственность в хозяйственное ведение МП ЩР «Щелковская Теплосеть». 1. Письмо-разрешение от Администрации […]
  • Сколько получают декретные если нет стажа Правовой Центр «Защита» - более 13 лет на рынке оказания юридических услуг Архив новостей Юридические услуги Методическое пособие Пособия при стаже менее года Вопрос-ответ. Пособия. Пособия при стаже менее года (501) как […]
  • Схема приобретение гражданства рф Общий порядок получения гражданства РФ Схема, приведенная ниже, наглядно разъясняет общий порядок получения гражданства Российской Федерации. Схема получения гражданства РФ Шаг 1. Квота* на РВП (разрешение на временное […]
  • Подоходный налог с мигрантами Работники-мигранты «на патенте»: разбираем отдельные НДФЛ-ситуации Независимо от срока пребывания в РФ, доходы иностранцев, работающих по патенту, облагаются НДФЛ по ставке 13% п. 3 ст. 224, п. 1 ст. 227.1 НК РФ . Как известно, […]