Все правила по умножению отрицательным числам

Умножение отрицательных чисел, правило, примеры.

В этой статье мы разберемся с процессом умножения отрицательных чисел. Сначала сформулируем правило умножения отрицательных чисел и обоснуем его. После этого перейдем к решению характерных примеров.

Навигация по странице.

Правило умножения отрицательных чисел

Сразу озвучим правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

Запишем это правило с помощью букв: для любых отрицательных действительных чисел −a и −b (при этом числа a и b – положительные) справедливо равенство (−a)·(−b)=a·b .

Докажем правило умножения отрицательных чисел, то есть, докажем равенство (−a)·(−b)=a·b .

В статье умножение чисел с разными знаками мы обосновали справедливость равенства a·(−b)=−a·b , аналогично показывается, что (−a)·b=−a·b . Эти результаты и свойства противоположных чисел позволяют записать следующие равенства (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b . Это доказывает правило умножения отрицательных чисел.

Из приведенного правила умножения понятно, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Действительно, так как модуль любого числа является положительным, то произведение модулей также является положительным числом.

В заключение этого пункта отметим, что рассмотренное правило можно использовать для умножения действительных чисел, рациональных чисел и целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пришло время разобрать примеры умножения двух отрицательных чисел, при решении будем пользоваться правилом, полученном в предыдущем пункте.

Перемножьте два отрицательных числа −3 и −5 .

Модули умножаемых чисел равны 3 и 5 соответственно. Произведение этих чисел равно 15 (при необходимости смотрите умножение натуральных чисел), таким образом, произведение исходных чисел равно 15 .

Весь процесс умножения исходных отрицательных чисел кратко записывается так: (−3)·(−5)= 3·5=15 .

Умножение отрицательных рациональных чисел с помощью разобранного правила можно свести к умножению обыкновенных дробей, умножению смешанных чисел или умножению десятичных дробей.

Вычислите произведение (−0,125)·(−6) .

По правилу умножения отрицательных чисел имеем (−0,125)·(−6)=0,125·6 . Осталось лишь закончить вычисления, выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Наконец, заметим, что если один или оба множителя являются иррациональными числами, заданными в виде корней, логарифмов, степеней и т.п., то их произведение часто приходится записывать как числовое выражение. Значение полученного выражения вычисляется лишь при необходимости.

Проведите умножение отрицательного числа на отрицательное число .

Найдем сначала модули умножаемых чисел: и (смотрите свойства логарифма). Тогда по правилу умножения отрицательных чисел имеем . Полученное произведение и является ответом.

.

Продолжить изучение темы можно, обратившись к разделу умножение действительных чисел.

www.cleverstudents.ru

Все правила по умножению отрицательным числам

Действия с отрицательными и положительными числами

Абсолютная величина (модуль). Сложение.

Вычитание. Умножение. Деление.

Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.

1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются

их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные

величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак

числа с большей абсолютной величиной.

Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:

www.bymath.net

Умножение отрицательных чисел: правило, примеры

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , — b данное равенство считается верным.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: ( — а ) · ( — b ) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · ( — b ) = — a · b справедливое, как и ( — а ) · b = — a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

( — a ) · ( — b ) = — ( — a · ( — b ) ) = — ( — ( a · b ) ) = a · b .

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Произвести умножение чисел — 3 и — 5 .

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5 . Их произведение дает в результате 15 . Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

( — 3 ) · ( — 5 ) = 3 · 5 = 15

Ответ: ( — 3 ) · ( — 5 ) = 15 .

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Вычислить произведение ( — 0 , 125 ) · ( — 6 ) .

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 125 · 6 . Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Ответ: ( − 0 , 125 ) · ( − 6 ) = 0 , 75 .

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Необходимо произвести умножение отрицательного — 2 на неотрицательное log 5 1 3 .

Находим модули заданных чисел:

— 2 = 2 и log 5 1 3 = — log 5 3 = log 5 3 .

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.

Ответ: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

www.zaochnik.com

Все правила по умножению отрицательным числам

Правильно ли мы понимаем умножение?

«- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
— Осталась ваша буква И».

(Из к/ф «Отроки во Вселенной»)

Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой.

Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

7 — множимое. 3 — множитель. 21- произведение.

По официальной формулировке:

  • умножить число на другое число — значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.

По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

Исправим формулировку умножения

Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А если мы будем умножать на три минус семь?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

  • Умножение — это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.

По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются «правила знаков» при умножении, когда множитель отрицательный.

7 * (-3) — должно быть после нуля три знака «минус» = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = — 21

— 7 * (-3) — снова должно быть после нуля три знака «минус» =

= 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Умножение на ноль

7 * 0 = 0 + . нет операций прибавления к нулю.

Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух «правил знаков» (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

  1. Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
  2. Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
  3. Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).

Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

-7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

+7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

-7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков «+» или «-» в правой части равенства.

Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

2^-2 = 1 : 2 : 2 = 1/4

2^-3 = 1 : 2 : 2 : 2 = 1/8

Математики согласны, что возведение числа в положительную степень — это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень — это многократное деление единицы.

Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет «правила знаков», умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

15 : 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

Разделить число 15 на 5 — значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков «минус». Их три.

15 : 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

15 — 5 — 5 — 5 = 0 (деление 15 : 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

Деление с остатком.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17 : 5 = 3 и 2 остаток

Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

10 + 10 + 10 = 30

Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

0 + 10 = = = 30

(Три раза нажимаем «равняется».)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Что значит знак минус у тройки? Может так?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Опс. Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

Правила знаков при сложении и вычитании

Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

Что такое «минус», «отрицательный»?

Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов. Даже синус по своей природе может быть только положительным.

Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает «минус»?

Минус означает противоположное направление. Левый — правый. Верх — низ. По часовой стрелке — против часовой стрелки. Вперед — назад. Холодно — горячо. Легкий — тяжелый. Медленно — быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

«Минус бесконечности» в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие «минус».

Итак, «минус» обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

Для понимания правил, нам нужно разделить:

  • первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
  • второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
  • направление операций сложения и вычитания.

Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак «плюс»). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак «минус»).

Пример. Схема в нижнем правом углу.

Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус — знак числа на вертикальной оси.

Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

Поэтому два рядом стоящих знака «минус» можно заменить одним знаком «плюс».

Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти. Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

  1. Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
  2. Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
  3. На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.

Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании, полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках — это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

Правила 1 и 3 (по визуализации) — дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила.

Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

— два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

— два правила, по которым можно не писать знак «плюс» у положительного числа.

Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2015 года

mnemonikon.ru

Умножение и деление целых чисел

При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть, какое правило применять. Также необходимо изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволяет избежать некоторые досадные ошибки в будущем.

Законы умножения

Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например в выражении 3 × 2 = 6 , число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть, в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в данном случае будет показывать сколько раз нужно взять число 3:

Таким образом, если взять число 3 два раза подряд, получится число 6.

Переместительный закон умножения

Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

Теперь поменяем местами сомножители:

В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:

где a и b — сомножители

Сочетательный закон умножения

Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

К примеру выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25 .

С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

(a + b) × c = a × c + b × c

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

Закон умножения на ноль

Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Например, выражение 0 × 2 равно нулю

В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть, во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается как «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль?

Другими словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

Примеры применения закона умножения на ноль:

2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0

В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

Мы рассмотрели основные законы умножения. Далее рассмотрим умножение целых чисел.

Умножение целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Обычно записывают покороче: −5 × 2 = −10

Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

А выражение (−5) + (−5) равно −10, и мы это знаем из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.

Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Обычно записывают короче: 12 × (−5) = −60

Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

Первое действие:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Второе действие:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

Обычно записывают короче: 10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

Обычно записывают короче (−4) × (−2) = 8

Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

Сначала запишем следующее выражение:

Заключим его в скобки:

Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

Всё это приравняем к нулю:

( 4 × (−2) ) + ( (−4) × (−2) ) = 0

Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

Итак, первое произведение ( 4 × (−2) ) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения ( 4 × (−2) )

Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

Теперь внимательно смотрим на выражение −8 + […] = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

Пример 5. Найти значение выражения −2 × (6 + 4)

Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = ( −2 × 6) + ( −2 × 4)

Теперь вычислим выражения, находящиеся в скобках. Затем полученные результаты сложим. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12

Второе действие:

−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

Третье действие:

Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

Обычно записывают короче: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

Второе действие:

Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

Обычно записывают короче: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Законы деления

Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8 : 2 = 4, 8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть, в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

Далее рассмотрим законы деления.

На ноль делить нельзя

Любое число запрещено делить на ноль. Дело в том, что деление является обратной операцией умножению. Например, если 2 × 6 = 12, то 12 : 6 = 2

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке.

Теперь сделаем тоже самое для выражения 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно и глупо.

В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть, каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

Например выражение 8 : 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даёт ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5 : 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даёт ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

Выражение […] × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

А значит записывать выражение […] × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

, при b ≠ 0

Это выражение можно прочитать так:

Число a можно разделить на число b, при условии, что b не равно нулю.

Свойство частного

Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

Например, рассмотрим выражение 12 : 4. Значение этого выражения равно 3

Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

(12 × 4 ) : (4 × 4 )

(12 × 4 ) : (4 × 4 ) = 48 : 16 = 3

Получили ответ 3.

Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

(12 : 4 ) : (4 : 4 )

(12 : 4 ) : (4 : 4 ) = 3 : 1 = 3

Получили ответ 3.

Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

Мы рассмотрели два закона деления. Далее рассмотрим деление целых чисел.

Деление целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения 12 : (−2)

Это деление чисел с разными знаками. 12 – это положительное число, (−2) – отрицательное. В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.

12 : (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12 : 2) = −(6) = −6

Обычно записывают короче 12 : (−2) = −6

Пример 2. Найти значение выражения −24 : 6

Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. В таких случаях опять же нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.

−24 : 6 = −(|−24| : |6|) = −(24 : 6) = −(4) = −4

Обычно записывают короче −24 : 6 = −4

Пример 3. Найти значение выражения (−45) : (−5)

Это деление отрицательных чисел. В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45 : 5 = 9

Обычно записывают короче (−45) : (−5) = 9

Пример 4. Найти значение выражения (−36) : (−4) : (−3)

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

Разделим (−36) на (−4), и полученное число разделим на (−3)

Первое действие:

(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36 : 4 = 9

Второе действие:

9 : (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9 : 3) = −(3) = −3

Обычно записывают короче (−36) : (−4) : (−3) = 9 : (−3) = −3

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

spacemath.xyz

Смотрите еще:

  • Логика закон тождества закон непротиворечия Логика закон тождества закон непротиворечия 2. Закон тождества. Закон непротиворечия Закон тождества (a = a). Чтобы дать его характеристику, прежде необходимо понять, что же такое тождество вообще. В наиболее общем смысле под […]
  • Работа в такси на аренде без залога Работа в такси на аренде без залога Тpeбования: cтаж по правам не мeнеe 5 лет (тpебoвание ФЗ №69), хоpoшee знaниe городa, жeлaниe paботaть и зaрaбaтывaть. «АKЦИЯ KOМПAHИИ «ЮНEBEСТ» -CКИДКА 25% OТ CTOИMOСТИ АВTО HA ПEPВЫE 6 ДНЕЙ […]
  • Числовые и алгебраические выражения правила 6.4.1. Алгебраическое выражение I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями. Примеры алгебраических выражений: 2m -n; 3·(2a + […]
  • Видовременная форма и залог Английский язык для всех видовременная форма глагола и залог Очень часто в английском языке бывают задания, где необходимо выбрать правильную видовременную форму глагола и залог. Для того чтобы это успешно сделать, необходимо […]
  • Правило умножения матрицы на число Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл Умножение матрицы на число: теория и примеры Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение […]
  • Госпошлина по жалобе на решение суда Определение СК по административным делам Верховного Суда РФ от 27 августа 2014 г. N 91-КГ14-1 Суд отменил ранее состоявшиеся судебные акты по делу об оспаривании бездействия судебного пристава-исполнителя и направил дело в суд первой […]
  • Законы теория вероятности Формулы по теории вероятности онлайн В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (скачать можно на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей). Если слово подчеркнуто, щелкнув на ссылке, вы […]
  • Размер надбавки к пособию Размер надбавки к пособию Социальная надбавка к пособию по старости Социальная надбавка (доплата к пособию по старости до прожиточного минимума) «Ашламат ахнаса» является важной частью доходов пожилых репатриантов и всегда вызывает […]