Непрерывная случайная величина имеет закон распределения на отрезке

Равномерный закон распределения вероятностей

Пожалуй, равномерное распределение является самым простым из всех законов распределений непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина $X$ является равномерно распределенной на отрезке $\left[a;b\right]$, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид:

Тогда соответствующая функция распределения имеет вид:

Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке.

Для равномерного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание:

Равномерно распределенная случайная величина $X$ принимает все свои значения лишь в конечном промежутке $\left[a;b\right]$, причем все эти значения случайной величины $X$ равновероятны. Примерами случайных величин, распределенных по равномерному закону, могут быть:

  • Время ожидания автобуса, при условии, что пассажир приходит на остановку в случайный момент времени и автобусы ходят с постоянным интервалом.
  • Ошибки при взвешивании.
  • Ошибка округления числа до целочисленного значения. Очевидно, что такая случайная величина распределена равномерно на отрезке $\left[-0,5;0,5\right]$.

Пример 1. Плотность распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид $f\left(x\right)=\left\<\begin
0,\ x\le 2\\
<<1>\over <5>>,\ 2 7
\end\right.$.

Тогда математическое ожидание $M(X)=(a+b)/2=(2+7)/2=4,5$, дисперсия $D(X)=<\left(b-a\right)>^2/12=<\left(7-2\right)>^2/12=25/12\approx 2,083.$

Пример 2. Вычислить вероятность того, что при семи испытаниях менее трех раз случайная величина $X$ попадет в интервал $\left[0;1,5\right]$, если распределено по равномерному закону на отрезке $\left[0;6\right]$.

Запишем функцию распределения равномерно распределенной случайной величины $X\sim R\left[0;6\right]$.

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины $X$ вычисляется по формуле:

Тогда вероятность того, что $X\in \left[0;1,5\right]$ равна разности значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала: $P(0\le X\le 1,5)=F(1,5)-F(0)=1,5/6-0=0,25.$

Вероятность того, что при $n=7$ независимых испытаниях $X$ попадет в интервал $\left[0;1,5\right]$ менее трех раз, вычисляем по формуле: $P_7\left(k Да Нет

При копировании материала с сайта, обратная ссылка обязательна!

www.wikimatik.ru

Функция НОРМРАСП

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.

x — значение, для которого строится распределение.

Среднее — среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.

Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.

· Если аргумент «среднее» или « стандартное_откл » не является числом, функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Если стандартное_откл ≤ 0, то функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.

· Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:

· Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x .

Функция НОРМСТРАСП

Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Данная функция используется вместо таблицы площадей стандартной нормальной кривой.

Z — значение, для которого строится распределение.

· Если z не является числом, функция НОРМСТРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

Функция НОРМОБР

Возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения.

Вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распределению.

Среднее — среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.

· Если какой-либо из аргументов не является числом, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Если вероятность 1, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если стандартное_откл ≤ 0, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, функция НОРМОБР использует стандартное нормальное распределение (см. НОРМСТОБР).

Если задано значение вероятности, функция НОРМОБР ищет значение x , для которого функция НОРМРАСП( x , среднее, стандартное_откл , ИСТИНА) = вероятность. Однако точность функции НОРМОБР зависит от точности НОРМРАСП. В функции НОРМОБР для поиска применяется метод итераций. Если поиск не закончился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.

yuschikev.narod.ru

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох , определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word
  • Типовые задания

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

Пример №1 . Случайная величина Х задана функцией распределения F(x) :

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
f(x) = dF(x)/dx = 1 /4
Математическое ожидание.


Дисперсия.


Среднеквадратическое отклонение.

Пример №2 . Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

Пример №3 . Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения f(x). Найти величину с, интегральную функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Примечание. Очень часто при нахождении математического ожидания и дисперсии применяют формулу интегрирования по частям.

math.semestr.ru

Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 19.Равномерный закон распределения

19. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики.

На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).

Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероятности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1(исходя из св-в плотности вероятности ), то

Таким образом, непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения, на отрезке [a, b], если её плотность вероятности

Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределённой по равномерному закону, есть

её математическое ожидание

а её дисперсия

Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению. Так, случайная величина X, распределённая равномерно на отрезке [0; 1], называемая «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.

Найдем числовые характеристики.

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]:

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Пример1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

СВ- время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна:

Пример2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем

Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х3. Тогда математическое ожидание равно:

studfiles.net

Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу


Загрузить всю книгу

5.3.3. Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин

На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.

Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

.

Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:

.

1. Математическое ожидание по формуле (5.11):

.

.

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X , равномерно распределенной на интервале (2;6).

.

.

Среднее квадратическое отклонение:

Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [ a , b ], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.

Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [ a , b ], определяется по формуле (5.9а).

Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.

Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения по формуле (5.14) равна:

,

где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.

Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей равна:

.

Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле (5.9а) вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка превышающая значение 0,04:

.

Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:

.

Рис. 5.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [a;b]

Непрерывная случайная величина x имеет нормальльное распределение с параметрами: m, s > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:

edu.tltsu.ru

Смотрите еще:

  • Законы ману называются так в честь Законы ману называются так в честь Законы Ману — древнеиндийский сборник предписаний религиозного, морально-нравственного и общественного долга (дхармы), называемый также "закон ариев" или "кодекс чести ариев". Манавадхармашастра — […]
  • Викторина о правилах безопасности Много полезностей для развития и обучения детей: веселые детские игры, потешки, считалки, скороговорки, сказки, подвижные игры, развивающие игры, пальчиковая гимнастика, графические диктанты и т.д. Новости о детях ВИКТОРИНА […]
  • Правила написания сложных числительных § 111. Правописание порядковых числительных Г.). 8. Первым движением Ковалева было схватить платок (Г.). 9. Восьмой десяток мне пошел (М.Г.). Пора вставать: седьмой уж час (П.). Упражнение 346. От приводимых ниже количественных […]
  • Подробные расчеты в суд Как правильно провести расчет цены иска (пример)? Расчет цены иска — один из основных этапов подготовки иска и необходимая часть некоторых исковых заявлений. Расскажем, как правильно провести расчет цены иска и как быть, когда это […]
  • Правила сдачи рсв-1 Сроки сдачи РСВ за 1 квартал 2018 года Отправить на почту РСВ 1 квартал 2018 - сроки сдачи этого отчета подчинены единым правилам, установленным НК РФ. Однако в отношении 2018 года на законодательном уровне приняты дополнительные […]
  • Отчет об оценке акции для нотариуса Стоимость оценки акций для нотариуса (вступления в права наследства) Действующая акция: оценка акций (котируемых) для нотариуса (при вступлении в права наследства) 1 000 руб за 1 предприятие-эмитент! оценка акций (НЕ котируемых) […]
  • Список источников по налогам Список источников по налогам Один @ втор.ru Самара 8-927-902-39-25 Дипломные, курсовые, контрольные работы на заказ в Самаре [email protected] Список литературы по налогам и налогообложению На этой странице приведен список […]
  • Свод правил сп 7 Свод правил СП 7.13130.2013. Отопление, вентиляция и кондиционирование. Требования пожарной безопасности. СВОД ПРАВИЛ СП 7.13130.2013 ОТОПЛЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ И КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЯ ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ Heating, ventilation and […]