Законы теория вероятности

Содержание статьи:

Формулы по теории вероятности онлайн

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (скачать можно на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей). Если слово подчеркнуто, щелкнув на ссылке, вы перейдете к подробному описанию термина, примерам или вычислению на онлайн-калькуляторе. Используйте эти возможности!

А также для изучения тервера у нас есть:

I. Случайные события. Основные формулы онлайн

1. Основные формулы комбинаторики

Число перестановок $$P_n = n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot . \cdot (n-1) \cdot n$$

2. Классическое определение вероятности

$$P(A) = \frac,$$ где $m$ — число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ — число всех элементарных равновозможных исходов.

Подробнее о классической вероятности см. в онлайн-учебнике и калькуляторах решений.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Примеры решений и теория по алгебре событий тут.

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B) $$

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B|A),\\ P(A\cdot B) =P(B)\cdot P(A|B). $$

$P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$,

$P(B|A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

5. Формула полной вероятности

где $H_1, H_2, . H_n$ — полная группа гипотез.

6. Формула Байеса (Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

где $H_1, H_2, . H_n$ — полная группа гипотез.

Примеры и теория на эту тему.

7. Формула Бернулли

8. Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ — вероятность появления события при одном испытании):

$$ np-(1-p) \le k_0 \le np+p. $$

9. Локальная формула Лапласа

вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $\varphi(x)$ берутся из таблицы.

10. Интегральная формула Лапласа

вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $\Phi(x)$ берутся из таблицы.

Теория и примеры на формулы Муавра-Лапласа.

11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности $p$

$\varepsilon$ — величина отклонения, $p$ — вероятность появления события.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

www.matburo.ru

Законы теория вероятности

Одно из ограничений науки состоит в том, что она, по самой своей сути, имеет дело не с абсолютными доказательствами, а с вероятностью. В широко используемом учебнике по биологии Джордж Гейлорд Симпсон, один из его авторов, предупреждал студентов об этом факте, когда сказал:

Мы говорим о «принятом значении», «уверенности» и «вероятности», а не «доказательстве». Если под доказательством понимать установление вечной и абсолютной истины, неподверженной никаким возможным исключениям или изменениям, тогда доказательство не имеет места в естественных науках. С другой стороны, доказательство в естественной науке, как, например, в биологии, должно определяться как достижение высокой степени уверенности (1965, с. 16).

Несомненно, все ученые-практики согласятся с доктором Симпеоном. Наука по причине своей зависимости от индуктивного метода не может представить абсолютного доказательства. В течение многих лет исследователи успешно устанавливали то, что теперь известно как «законы вероятности». Основываясь на работах таких людей, как Блез Паскаль, знаменитый французский математик и ученый, другие выводили принципы, которые используются сегодня ежедневно практически во всех научных дисциплинах. Георгий Гамов был одним из них (1961). Также в их числе был Эмиль Борел. Доктор Борел, один из самых выдающихся специалистов мира по математической вероятности, сформулировал то, что ученые, так же как и математики, называют основным «законом вероятности», который мы рассмотрим в данной главе.

Однако, в начале любой дискуссии о вероятности возникают два вопроса. Во-первых, имеют ли вероятности какое-либо практическое значение? Во-вторых, полезны ли вероятности в полемике по поводу сотворения или эволюции? «Да,» — говорит Джеймс Коппедж, бывший руководитель исследования вероятностей, который прокомментировал, почему такое изучение имеет практическую сущность.

Вероятность это практическая концепция. Неопределенность и неуверенность оказывают влияние на наши жизни. Насколько вероятно то, что в день, на который вы запланировали поездку за город, пойдет дождь? Каковы шансы того, что ваш самолет окажется захваченным террористами? Возможно ли, что ваша машина не потребует значительного ремонта, если вы отложите покупку новой на шесть месяцев? Сколько потребуется наличных, чтобы взять с собой в планируемую зарубежную поездку? Какова вероятность того, что вы сдадите школьный экзамен без дополнительной подготовки? (1973, с. 39).

Доктор Коппедж сходным образом объяснил, что изучение вероятностей полезно в таких делах, как исчисление страховых сборов, анализирование принципов и/или цен на рынке ценных бумаг и других, которые представляют интерес для обычного человека. Более того, пользуясь словами Р.Л. Уайсонга, законы вероятности «подтверждены и заслуживают доверия. Наука в целом и ежедневная практическая жизнь основываются на вероятных событиях и том, что может быть» (1976, с. 81). Действительно, вне зависимости от того, понимают это люди или нет, на нашу повседневную жизнь оказывает влияние такое математическое исследование, иногда таким образом, что мы даже не знаем или не понимаем этого.

Но связаны ли проблемы вероятности с полемикой по поводу сотворения или эволюции? Да, это так. Хэрольд Моровитц, бывший преподаватель биофизики в Йельском университете, а в нынешнее время в Университете Джорджа Мейсона в Ферфаксе, Вирджиния, сказал, что:

Зачастую процесс оказывается таким сложным, или мы настолько плохо знаем ограничивающие его условия или законы, управляющие этим процессом, что мы можем предсказать результат этого процесса только при помощи статистики. . Случайность, в некотором смысле, это следствие незнания наблюдателя, тем не менее, сама случайность проявляет определенные признаки, которые превратились в мощные инструменты в изучении поведения систем атомов (1970, с. 64:45).

И, как утверждал Коппедж:

Эволюция это идеальный предмет, к которому можно применять законы случайности. Как было определено выше, эволюционное учение отрицает предварительный замысел и утверждает, что основной причинный источник это беспорядочный принцип «материи в движении». «Случайные мутации» представляют изменчивость, на которой в основном базируется нынешнее эволюционное мышление в Америке (1973, с. 44-45).

Таким образом, так как изучение вероятностей имеет дело со случайностью, и так как эволюция в целом основывается на концепции случайности, то кажется, что законы вероятности смогут пролить некоторый свет на вероятность возникновения эволюции, вот почему доктор Коппедж отметил: «Центральный вопрос, которым мы займемся, состоит в следующем: позволяют ли законы случайности рассматривать эволюцию как вполне возможную вероятность?» (с. 45).

Есть два важных вопроса, которые необходимо рассмотреть в этой главе, посвященной статистической вероятности. Во-первых, является ли вообще происхождение жизни посредством эволюционных механизмов статистически возможным (в соответствии с принятым использованием законов вероятности). Во-вторых, являются ли подобные сценарии логически возможными. Важно признать, что любое логически невозможное событие по определению является вероятностно невозможным. Следовательно, во-первых, мы обратим внимание на вопрос о том, является ли происхождение жизни (в том виде, в котором его постулируют эволюционисты) статистически возможным, в соответствии с принятыми нормами, установленными законами вероятности.

Закон вероятности Борела утверждает, что событие, у которого шансы осуществиться не превышают одного к одному с пятидесятые нулями, это такое событие, о котором мы можем сказать с уверенностью, что оно никогда не произойдет, вне зависимости от того, сколько времени ему отпущено и сколько мыслимых возможностей существуют для его осуществления (1962, главы 1 и 3; см. также 1965, с. 62). Доктор Борел, известный как математик-практик, отметил, что «принципы, на которых основывается исчисление вероятностей, чрезвычайно просты и так же интуитивны, как размышления, ведущие бухгалтера через его вычисления» (1962, с. 1). Хотя с этим не сразу согласятся нематематики, тем не менее, нам интересны принципы, заложенные здесь. И у нас есть хорошие основания. Кинг и Рид в своей замечательной работе «Дорога к вероятности» утверждали:

Мы склонны согласиться с П.С. Лапласом, сказавшим: «Мы видим . что теория вероятности это, по сути дела, всего-навсего здравый смысл, низведенный до уровня вычислений; это заставляет нас в точности оценить то, что разумное сознание чувствует как бы инстинктивно, зачастую даже будучи неспособным объяснить это» (1963, с. 130).

Имея это в виду, интересно отметить из научной литературы некоторые оценки вероятности возникновения жизни посредством только механистических процессов. Например, доктор Моровитц подсчитал, что вероятность случайного возникновения самой маленькой, простейшей формы известного живого организма это шанс 1×10 340000000 [то есть, один шанс из 1 с 340 000 000 нулей] (1968, с. 99). Размер этой цифры просто поражает, так как считается, что во всей Вселенной содержится только приблизительно 10 80 электронов!

Карл Саган вычислил, что шанс возникновения жизни на одной любой данной планете, такой как Земля, равняется 1х10 2000000000 [то есть, один шанс из 1 с двумя миллиардами нулей] (1973, с. 46). Это число так огромно, что потребовалось бы 6000 книг по 300 страниц каждая, чтобы только записать это число! Такое большое число настолько превосходит единицу с 50 нулями (верхний предел Борела для того, чтобы событие могло произойти), что это попросту устрашает. Следовательно, в соответствии с законом вероятности Борела, нет абсолютно никакого шанса, что жизнь на Земле могла «зародиться самопроизвольно».

Давайте далее рассмотрим следующие факты (по книге Морриса и Паркера, 1982, с. 236-239). Если предположить, что Вселенная в радиусе составляет 5 миллиардов световых лет, и предположить, что она наполнена крошечными частицами размером с электрон, было подсчитано, что во Вселенной могут существовать приблизительно 10 130 частиц. Каждая структура, каждый процесс, каждая система, каждое «событие» во Вселенной должно состоять из этих частиц в различных комбинациях и взаимодействиях. Если очень щедро предположить, что каждая частица может принять участие в 10 20 (то есть, в ста квинтиллионах) событий каждую секунду, а затем предоставить 10 20 секунд космической истории (это соответствовало бы 3 000 миллиардам лет или в 100-200 раз больше, чем современная оценка возраста Вселенной), то самое большое мыслимое количество отдельных событий, которые могли бы иметь место во всем космосе и времени, равнялось бы:

Почему именно так? Пусть объяснит доктор Гамов: «Здесь мы имеем правило «умножения вероятностей», которое утверждает, что, если вы хотите несколько различных вещей, вы можете определить математическую вероятность их получения посредством умножения математических вероятностей получения каждой отдельной вещи» (1961, с. 208). Или, как утверждал Адлер: «Разбейте эксперимент на последовательность маленьких шагов. Подсчитайте количество возможных результатов каждого шага. Затем перемножьте эти числа» (1963, с. 58-59). Для того чтобы появилась жизнь, одно из этих событий (или их некая комбинация) должно свести определенное количество этих частиц вместе в системе с достаточным порядком (или сохраненной информацией), чтобы она смогла сделать копию самой себя (воспроизвестись). И эта система должна появиться по чистой случайности.

Однако, проблема в том, что любая живая клетка или любой новый орган, который должен быть добавлен к любому существующему животному, — даже самая простая репликационная система, которую только можно представить, — должен был бы содержать гораздо больше сохраненной информации, чем представленное даже таким гигантским числом, как 10 170 . По сути дела, Марсель Э. Голе, ведущий ученый в области теории информации, подсчитал вероятность того, что такая система могла создать саму себя, и она равна 1 к 10 450 (1961, с. 23). Фрэнк Сэлисбери установил число 1 к 10 415 (1969, 1971). Если принять число доктора Голе, то шансы любого случайного упорядочения частиц в репликационную систему составляют по меньшей мере 1 к 10 450 . Это истинно даже в том случае, если это растянуть во времени и в виде целого ряда связанных событий. Голе получил это число на предположении о том, что это было достигнуто серией из 1 500 последовательных событий, причем каждое из них имеет довольно высокую степень вероятности 1⁄2 (обратите внимание, что 2 1500 =10 450 ). Вероятность этого была бы еще меньше, если бы это произошло в одном случайном событии! Следовательно, было бы справедливо прийти к выводу, что вероятность того, что самая простая репликационная система, которую только можно представить, произошла только однажды за все время во Вселенной благодаря случаю, равняется:

Когда вероятность того, что любое событие может произойти, меньше, чем одно из числа событий, которые вообще могли бы произойти, — то есть, как рассматривалось выше, меньше, чем 1/170, — то вероятность этого события считается математиками равной нулю. Следовательно, можно сделать вывод, что шансы происхождения жизни абсолютно невозможны. Почему так? Гамов, использовав в качестве примера простое подбрасывание монеты, объяснил причину истинности этого принципа.

Таким образом, если при 2, 3 или даже 4 подбрасываниях шансы выпадения только орла или только решки все еще заметны, то в 10 подбрасываниях даже 90 процентов орлов или решек слишком невероятны. Для еще большего количества подбрасываний, скажем, 100 или 1000, кривая вероятности становится острой, как игла, и возможность получения даже небольшого отклонения от равного распределения практически становится равной нулю (1961, с. 209).

Коппедж, комментируя это высказывание Гамова, отметил, что:

Теория вероятности применима в основном к длительным периодам. Если вы подбросите монету всего лишь несколько раз, то результаты могут значительно отличаться от усредненных. Однако, если вы продолжите эксперимент, он выровняется до почти абсолютной предсказуемости. Это называется «законом больших чисел». Длительный эксперимент служит для усреднения колебаний, которые вы можете получить в короткой серии опытов. Эти отклонения поглощаются средним числом, полученным в ходе длительных наблюдений. Когда речь идет о большом количестве попыток, то можно вполне положиться на закон средних чисел. Это правило, названное однажды «законом больших чисел», имеет центральное значение в этой области вероятности. Кстати, в широко распространенном смысле, теория вероятности, законы случайности и наука вероятности могут считаться просто различными выражениями одного общего предмета (1973, с. 47-48).

Генри Моррис в написанной им главе книги «Что такое наука сотворения?» говорит:

Иногда выдвигается возражение, что, даже если вероятность живой системы равна 10 -280 , любая другая особая комбинация частиц могла бы также иметь схожую вероятность, так что одна также вероятна, как и другая. Могут даже быть другие комбинации, отличные от тех, с которыми мы знакомы на земле, которые также могли бы оказаться живыми. Такие утверждения упускают из виду тот факт, что в любой группе частиц есть гораздо больше бессмысленных комбинаций, чем упорядоченных комбинаций. Например, если в системе есть четыре компонента, соединенных линейно, только у двух (1-2-3-4, 4-3-2-1) из 24 возможных комбинаций есть порядок, действительно имеющий смысл. Это соотношение быстро уменьшается при увеличении количества компонентов. Чем сложнее и упорядоченнее система, тем она уникальнее среди своих возможных соперников. Следовательно, это возражение лишено оснований. В примере, процитированном выше, смысл имела бы только одна комбинация. И будет 10 280 комбинаций, которые не имели бы смысла (1987, с. 272-273, выделено мной — Б.Т.).

Другие авторы подчеркивали эту же мысль. Например, Уай-сонг приходит к выводу:

В стремлении определить, будут ли получены желаемые результаты, всегда принимайте во внимание то, что дроби, используемые в вычислении вероятности, имеют две стороны. Одна говорит вам о возможности того, что что-то произойдет, а другая — то, что это же событие не произойдет; то есть, если шансы того, что определенное событие произойдет, равны 1 к 10 (10%), то, подобным образом, шансы того, что оно не произойдет, составляют 9 к 10 (90%). Кто может разумно полагать, что монета упадет орлом вверх сто раз подряд, когда шансы этого составляют:

www.scienceandapologetics.org

Теория вероятностей и математическая статистика

«Теория вероятностей и математическая статистика» (или ТВиМС) — именно так часто звучит название предмета в вашем расписании или рекомендуемом учебнике. Почему два предмета в одном? Как они связаны? Если речь идет об углубленном изучении предмета, обычно первый семестр посвящен изучению теории вероятностей, и только во втором, основываясь на полученных знаниях, переходят к математической статистике.

Остановимся подробнее на каждом предмете и узнаем, как же они связаны друг с другом.

Что изучает теория вероятностей?

Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов. Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах. Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Подробнее об основных понятиях теории вероятностей (событие, вероятность, независимость, группа событий), формулах, определениях и теоремах можно узнать из онлайн учебника по теории вероятностей, который вы найдете на нашем сайте. Еще полезные материалы для изучения: формулы по теории вероятностей, ссылки на учебники по ТВ, решенные задачи на вероятность и статья о том, как решать вероятностные задачи.

От теории вероятностей к математической статистике

Теория вероятностей изучает математические законы распределения случайных событий, и фактически является теоретической базой для математической статистики. Но, если в теории вероятностей обычно распределение задано тем или иным образом, и требуется найти вероятности, числовые характеристики (например, математическое ожидание, дисперсию и т.п.), построить графики функции и плотности распределения, то в задачах математической статистики, напротив, известны данные (выборка), собранные по результатам какого-то эксперимента или наблюдения, по которым следует определить закон распределения, наиболее подходящий в данном случае, достоверную с некоторой долей вероятности информацию о том, какими могут быть математическое ожидание или среднеквадратическое отклонение величины и т.п.

Что изучает математическая статистика?

Если говорить строго, то математическая статистика — это раздел математики, который изучеет методы сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия на их основе решений.

Почему же для обработки простых наборов данных требуется целая наука? Потом, что эти данные, как бы мы не старались, никогда не являются точными, содержат случайные ошибки. Это могут быть и погрешности измерительных приборов, и ошибки человеческие (связанные с тем, кто проводит исследование и измерение), и неоднородность данных или, конечно, их недостаточность (невозможно изучить, например, всех коров в мире, чтобы делать выводы об их удоях;), или опросить всех избирателей чтобы сделать прогноз выигрыша для кандидата на выборах).

Обычно исследователь многократно повторяет (если это физически возможно) свой опыт, получая большое количество однотипных данных, которые теперь надо обработать и сделать весомые выводы, которые позволят не только продвинуться глубже в изучении предмета (будь то удои коров или политические предпочтения), но и сделать выводы, прогнозы, принять важные экономические решения и т.д.

Именно математическая статистика дает методы для обработки данных, алгоритмы для проверки статистических гипотез, критерии адекватности и значимости выбранной модели или закона, обоснованные границы точности для параметров распределения, которые мы можем получить исходя из наших данных и т.п.

Как изучить теорию вероятностей и математическую статистику? Читайте (и прорешивайте в них примеры) учебники по математической статистике, изучите примеры решений, используйте калькуляторы по ТВ, таблицы и формулы статистики для удобства. Онлайн решебник по теории вероятностей поможет с трудными задачами.

www.matburo.ru

законы теории вероятностей

Большой англо-русский и русско-английский словарь . 2001 .

Смотреть что такое «законы теории вероятностей» в других словарях:

Вероятностей теория — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… … Большая советская энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром строят и изучают матем. модели случайных явлении. Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса… … Физическая энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Утверждение о том, что к. л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не… … Математическая энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера

Законы Мерфи — Закон Мёрфи (англ. Murphy s law) универсальный философский принцип, состоящий в том, что если есть вероятность того, что какая нибудь неприятность может случиться, то она обязательно произойдёт. Иностранный аналог русского «закона подлости» и… … Википедия

Законы Менделя — Схема первого и второго закона Менделя. 1) Растение с белыми цветками (две копии рецессивного аллеля w) скрещивается с растением с красными цветками (две копии доминантного аллеля R). 2) У всех растений потомков цветы красные и одинаковый ген … Википедия

Теории научения (learning theories) — Т. н. стремятся систематизировать имеющиеся факты о научении наиболее простым и логичным способом и направляют усилия исследователей в поиске новых и важных фактов. В случае Т. н., эти факты связаны с условиями, к рые вызывают и сохраняют… … Психологическая энциклопедия

Менделя законы — Законы Менделя набор основных положений, касающихся механизмов передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам; эти принципы лежат в основе классической генетики. Обычно в русскоязычных учебниках описывают три закона,… … Википедия

НЕЗАВИСИМОСТЬ — в теории вероятностей одно из важнейших понятий этой теории. Иногда используют термины статистическая независимость, стохастическая независимость. Предположение о Н. рассматриваемых событий, испытаний и случайных величин было обычной предпосылкой … Математическая энциклопедия

Лауреат Сталинской Премии — Медаль Сталинской премии Медаль лауреата Сталинской премии на почтовой марке Сталинская премия форма поощрения граждан CCCР за выдающиеся творческие достижения в области науки и техники, литературы и искусства, коренные усовершенствования… … Википедия

Лауреат Сталинской премии — Медаль Сталинской премии Медаль лауреата Сталинской премии на почтовой марке Сталинская премия форма поощрения граждан CCCР за выдающиеся творческие достижения в области науки и техники, литературы и искусства, коренные усовершенствования… … Википедия

dic.academic.ru

Законы теория вероятности

1. Случайная величина (СВ) и вероятность события.

2. Закон распределения СВ.

3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли).

4. Распределение Пуассона.

5. Нормальное (гауссовское) распределение.

6. Равномерное распределение.

7. Распределение Стьюдента.

2.1 Случайная величина и вероятность события

Математическая статистика тесно связана с другой математической наукой – теорией вероятности и базируется на ее математическом аппарате.

Теория вероятности – это наука, которая изучает закономерности, порожденные случайными событиями.

Педагогические явления относятся к числу массовых: они охватывают большие совокупности людей, повторяются из года в год, совершаются непрерывно. Показатели (параметры, результаты) педагогического процесса имеют вероятностный характер: одно и то же педагогическое воздействие может приводить к различным следствиям (случайные события, случайным величинам). Тем не менее, при многократном воспроизведении условий определенные следствия появляются чаще других, — это и есть проявление так называемых статистических закономерностей (изучением которых занимаются теория вероятностей и математическая статистика).

Случайная величина (СВ) – это численная характеристика, измеряемая по ходу опыта и зависящая от случайного исхода. СВ реализуемая по ходу опыта и сама является случайной. Каждая СВ задает распределение вероятностей.

Основным свойством педагогических процессов, явлений служит их вероятностный характер (при данных условиях они могут произойти, реализоваться, но могут и не произойти). Для таких явлений существенную роль играет понятие вероятности.

Вероятность (Р) показывает степень возможности осуществления данного события, явления, результата. Вероятность невозможного события равна нулю p = 0, достоверного — единице p = 1 (100%). Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1, в зависимости от того, насколько это событие случайно.

Если мы интересуемся событием A, то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. Потребность в понятии вероятности и ее вычисления возникнет, очевидно, только тогда, когда мы наблюдаем это событие не каждый раз, либо осознаем, что оно может произойти, а может не произойти. И в том и другом случае полезно использовать понятие частоты появления события f(A) — как отношения числа случаев его появления (благоприятных исходов) к общему числу наблюдений. Частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого события, но и от числа (количества) наблюдений за этой СВ.

Существует два вида выборок СВ: зависимые и независимые. Если результаты измерения некоторого свойства у объектов первой выборки не оказывают влияния на результаты измерения этого свойства у объектов второй выборки, то такие выборки считаются независимыми. В тех случаях, когда результаты одной выборки влияют на результаты другой выборки, выборки считают зависимыми. Классический способ получения зависимых измерений – это двукратное измерение одного и того же свойства (или разных свойств) у членов одной и той же группы.

Событие А не зависит от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло или нет событие В. События А и В независимы, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). На практике независимость события устанавливается из условий опыта, интуиции исследователя и практики.

СВ бывает дискретной (мы можем пронумеровать ее возможные значения), например, выпадение игральной кости = 4, 6, 2, и непрерывной (ее функция распределения F(x) – непрерывна), например, время службы лампочки.

Математическое ожидание – числовая характеристика СВ, приближенно равная среднему значению СВ:

2.2 Закон распределения СВ

Подчиняются ли каким-либо законам явления, носящие случайный характер? Да, но эти законы отличаются от привычных нам физических законов. Значения СВ невозможно предугадать даже при известных условиях эксперимента, мы можем лишь указать вероятности того, что СВ примет то или иное значение. Зато зная распределение вероятностей СВ, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Правда, эти выводы будут также носить вероятностный характер.

Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.

Закон распределения СВ — это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.

При построении математической модели для проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели).

Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет более широкую область применения.

Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности (возможно, кто–то уже сделал или сделает это до вас!), либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие–то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.

Конечно же, для каждого из «классических» распределений уже давно эта работа проделана ­– широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля и Пуассона и многие другие.

Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.

Сегодня положение изменилось – нет нужды хранить данные расчетов по формулам (как бы последние не были сложны!), время на использование закона распределения для практики сведено к минутам, а то и секундам. Уже сейчас существует достаточное количество разнообразных пакетов прикладных компьютерных программ для этих целей.

Среди всех вероятностных распределений есть такие, которые используются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знаний – таких, как теория массового обслуживания, теория надежности, контроль качества, теория игр и т.п.

2.3 Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.

Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1– p) = q – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем.

Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна

Формулу (1) называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.

2.4 Распределение Пуассона

Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.).

Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события (покупки в магазине) могут происходить в случайные моменты времени. Определим число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т.

Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром l=аТ, где а>0 – параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий. Вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, – дня) составит

2.5 Нормальное (гауссовское) распределение

Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нор­мальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с ра­ботой по теории ошибок наблюдений.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра

Нормальное распределение с параметрами

Для μ=0, σ=1 график принимает вид:

Эта кривая при μ=0, σ=1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой.

Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом числе наблюдений для множества переменных. Можно предположить, что не имея материальных ограничений на количество объектов и время проведения эксперимента, статистическое исследование приводится к нормально кривой.

2.6 Равномерное распределение

Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:

где N – количество возможных значений СВ.

Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю:

2.7 Распределение Стьюдента

Это распределение связано с нормальным. Если СВ x1, x2, … xn – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0,1), то СВ имеет распределение, называемое распределением Стьюдента:

sites.google.com

Смотрите еще:

  • Правила установки резины пдд Новые требования к автомобильным шинам на 2018 год — штраф за остаточную глубину протектора, разные шины и т.п. Рассмотрим требования к автомобильным шинам и колесам на 2018 год. Они регламентируются приложением № 1 к ПДД «Перечень […]
  • Видовременная форма и залог Английский язык для всех видовременная форма глагола и залог Очень часто в английском языке бывают задания, где необходимо выбрать правильную видовременную форму глагола и залог. Для того чтобы это успешно сделать, необходимо […]
  • Закон кирхгофа уравнения Примеры решения задач на законы Кирхгофа Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач. Задача 1 Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, […]
  • 10 округов федеральных арбитражных судов 10 округов федеральных арбитражных судов В ходе судебной реформы, начавшейся в 1990 году, в системе судов общей юрисдикции и арбитражных судов предполагалось создать новый "этаж" - окружные суды, юрисдикция которых распространяется […]
  • Как оформить путевку на ребенка 5 способов бесплатно отдохнуть в санатории Итак, решено: отправляем чадо в санаторий. Что делаем? Понятно, что купить путевку не представляет особого труда – были бы деньги. Однако не стоит торопиться. Зачем платить лишнее, если […]
  • Рассмотрение жалоб в верховном суде рф Официальный сайтВерховного Суда Российской Федерации Верховный Суд Российской Федерации По делам об административных правонарушениях Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях (извлечение) Глава […]
  • Сро перечень приказ Учредители ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОНТРОЛЬ Федеральная служба по экологическому, технологическому и атомному надзору (РОСТЕХНАДЗОР) Адрес: 105066, г. Москва, ул. А. Лукьянова, д. 4, стр. 1 Тел.: (495) 647-60-81 Факс: (495) 645-89-86 […]
  • Приказ мнс рф это МНС России Федеральная налоговая служба (ФНС России) является федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по контролю и надзору за соблюдением законодательства Российской Федерации о налогах и сборах, за […]