Правила решения выражений с+и

Содержание статьи:

Правила решения уравнений с одним неизвестным | Математика

Текст ниже готовила, чтобы объяснить своему ребёнку шаг за шагом что такое уравнение и как оно решаются, чтобы у него сведения выстроились хоть в какую-то систему. Примеры ниже я комментировала, а вместо Васи и Маши были ты да я.

Что такое равенство и неравенство

Неравенство

У Васи — 4 яблока. У Маши — 3 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

У Васи — 4 яблока. У Маши — 4 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

У Васи — 2 красных яблока и 3 зелёных. У Маши — 5 яблок. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

Что такое сложение и вычитание

У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи — 2 яблока. У Маши — 2 красных яблока и 1 зелёное. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи было 5 яблок. Он подарил Маше 3 яблока. Сколько яблок осталось у Васи?

У Васи было 3 яблока. Он подарил Маше 3 яблока и пообещал принести ещё 5. Сколько яблок осталось у Васи?

Вася должен Пете 5 яблок. Маше подарили 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?

Связь сложения и вычитания

У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Всего: 5 яблок. Придумай условия задачи и 4-е варианта решения.

Что такое уравнение

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число обозначают латинской буквой, чаще всего x .

Решение задачи с одним неизвестным методом подбора

Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?

Сложение или вычитание с неизвестным

Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?

Вася подарил Маше 2 яблока. У него осталось 3 яблока. Сколько яблок было у Васи?

У Васи было 5 яблок. После того, как он поделился с Машей, у него осталось 3 яблока. Сколько яблок подарил Вася?

Анекдот в тему. Профессор жалуется коллеге: До чего же глупые у меня студенты. Раз объясняю — не понимают, второй раз объясняю — снова не понимают, третий раз объясняю — сам уже начинаю понимать, а они всё не понимают!

Порядок выполнения действий, правила, примеры.

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий.

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

  • действия выполняются по порядку слева направо,
  • причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени.

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2 :3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

Правила решения выражений с+и

Покажем на примерах решение уравнений первой степени с буквенными коэффициентами.

Пример 1. Решить уравнение:

где а — данное число.

1) Раскроем скобки:

2) Перенесём члены, содержащие неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:

3) Приведём подобные члены:

Разделив обе части уравнения (3) на 3, получим следующее решение:

Если букве а придать какое-нибудь определённое значение, например положить то уравнение (1) обратится в уравнение с числовыми коэффициентами:

Теперь нет необходимости решать это последнее уравнение, так как достаточно заменить а в формуле (4) числом 3:

Пример 2. Решить уравнение:

1) Раскроем скобки:

2) Перенесём члены, содержащие неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:

3) Приведём подобные члены:

Это последнее уравнение мы сможем решить, если коэффициент при х не равен нулю (то есть или ):

Если то на нуль делить нельзя, а потому нельзя применять формулу (4).

Уравнение (3) равносильно уравнению (1); но если в уравнение (3) подставить то получится уравнение которое не имеет корней.

Поэтому при уравнение (3), а значит, и уравнение (1) не имеют корней.

При правая часть уравнения теряет смысл. Говорят, что не является допустимым значением для а. Поэтому будем считать, что а не равно нулю.

1) У множив обе части уравнения на 2а, после сокращений получим:

2) Раскроем скобки:

3) Сгруппируем члены, содержащие неизвестное, а одной части, а свободные члены — в другой:

4) Приведём подобные члены:

Если коэффициент при х не равен нулю, получим:

Если то уравнение (2) примет вид:

Очевидно, что это равенство будет верным при любом значении х, так как нуль, умноженный на любое число, даст в результате нуль.

Уравнение (1), равносильное уравнению (2), будет удовлетворяться всеми значениями х. Это можно проверить, подставив в данное уравнение (1):

Последнее равенство верно при всех значениях х.

Окончательный ответ запишем так:

2) Уравнению удовлетворяет любое число, если (напомним, что при заданное уравнение теряет смысл, а потому значение не рассматривается).

Как решить уравнение с неизвестным в дроби

Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное оказывается в числителе одной или нескольких дробей. Как, например, в уравнении ниже.

В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами.

I способ решения
Сведение уравнения к пропорции

При решении уравнений способом пропорции необходимо выполнить следующие действия:

  • привести все дроби к общему знаменателю и сложить их как алгебраические дроби (в левой и правой части должно остаться только по одной дроби);
  • полученное уравнение решить по правилу пропорции.

Итак, вернемся к нашему уравнению. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны никакие преобразования.

Будем работать с правой частью уравнения. Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь. Для этого вспомним правила сложения числа с алгебраической дробью.

Теперь используем правило пропорции и решим уравнение до конца.

II способ решения
Сведение к линейному уравнению без дробей

Рассмотрим уравнение выше еще раз и решим его другим способом.

Мы видим, что в уравнении присутствуют две дроби «

Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами

Покажем на примерах решение уравнений первой степени с буквенными коэффициентами.

Пример 1 . Решить уравнение:

a(x – 2) + 3x = a(x + 2) – 3 , (1)

где a — данное число.

1) Раскроем скобки:

ax – 2a + 3x = ax + 2a – 3 (2)

2) Перенесем члены, содержащее неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:

3) Приведем подобные члены:

Разделив обе части уравнения (3) на 3, получим следующее решение:

(4)

Если букве a придать какое-нибудь определенное значение, например положить a = 3, то уравнение (1) обратится в уравнение с числовыми коэффициентами:

3(x – 2) + 3x = 3(x + 2) – 3.

Теперь нет необходимости решать это последнее уравнение, так как достаточно заменить a в формуле (4) числом 3:

Пример 2 . Решить уравнение:

mx – (3 – m) = 2(x + 5). (1)

1) Раскроем скобки:

mx – 3 + m = 2x + 10. (2)

2) Перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:

mx – 2x = 10 + 3 – m

3) Приведем подобные члены:

Это последнее уравнение мы сможем решить, если коэффициент при x не равен нулю (то есть ):

(4)

Если m = 2, то m – 2 = 0; на нуль делить нельзя, а потому нельзя применять формулу (4).

Уравнение (3) равносильно уравнению (1); но если в уравнении (3) подставить m = 2, то получится уравнение 0 * x = 11, которое не имеет корней.

Поэтому при m = 2 уравнение (3), а значит, и уравнение (1) не имеют корней.

(1)

При a = 0 правая часть уравнения теряет смысл. Говорят, что a = 0 не является допустимым значением для a . Поэтому будем считать, что a не равно нулю.

1) Умножив обе части уравнения на 2 a , после сокращений получим:

a(x – 2) – 2a = 2(x – 4).

2) Раскроем скобки:

ax – 2a – 2a = 2x – 8 .

3) Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части, а свободные члены — в другой:

ax – 2x = –8 + 2a + 2a .

4) Приведем подобные члены:

(a – 2)x = 4(a – 2) . (2)

Если коэффициент при x не равен нулю, получим:

Если a = 2, то уравнение (2) примет вид:

Очевидно, что это равенство будет верным при любом значении x , так как нуль, умноженный на любое число, даст в результате нуль.

Уравнение (1), равносильное уравнению (2), будет удовлетворяться всеми значениями x . Это можно проверить, подставив a = 2 в данное уравнение (1):

Последнее равенство верно при всех значениях x .

Окончательный ответ запишем так:

  1. x = 4, если .
  2. Уравнение удовлетворяет любое число, если a = 2 (напомним, что при a = 0 заданное уравнение теряет смысл, а потому значение a = 0 не рассматривается).

Смотрите еще:

  • Пособие для расчетов электрических цепей Учебно-методическое пособие по теме: Расчет электрических цепей постоянного тока Материал представляет собой практическую работу для дисциплины "Основы электротехники" по профессии 230103.02 Мастер по обработке цифровой […]
  • Мера воздействия применяемая к нарушителям установленных правил норм Мера воздействия применяемая к нарушителям установленных правил норм ТЕСТ «Человек и закон» Вариант 1 Часть А: Выбери один правильный ответ из предложенных вариантов: А1. Совокупность норм и правил, отражающих представления о должном […]
  • Федеральный закон от 17 декабря 2001 г n 173-фз о трудовых пенсиях в Федеральный закон "О трудовых пенсиях в Российской Федерации" Федеральный закон от 17 декабря 2001 г. N 173-ФЗ"О трудовых пенсиях в Российской Федерации" С изменениями и дополнениями от: 25 июля, 31 декабря 2002 г., 29 ноября 2003 […]
  • К видам законов рф относятся Закон в системе источников конституционного права Система действующих в национальной правовой системе законов отличается предметом регулирования, формой, юридической силой и др. Виды законов в Российской Федерации - по юридической […]
  • Теория основы квалификации преступлений § 1. Понятие и виды квалификации преступлений § 1. Понятие и виды квалификации преступлений Основанием уголовной ответственности, согласно ст. 8 Уголовного кодекса Российской Федерации (далее — УК, Кодекса), является совершение […]
  • Глосино-петровский нотариус Нотариус Савина Е.А. адрес: Московская обл., Щелковский р-н, Лосино-Петровский г., ул. Октябрьская, 3 телефон: +7 (496) 567-. - показать график (часы) работы: вт,чт,пт 10:00-18:00; сб 10:00-15:00 Вниманию всех уважающих себя и других […]
  • Фрахт судов в новороссийске Фрахт судов в новороссийске Возьму в аренду (тайм-чартер) сухогруз (зерновоз) класса река море ( транспортировка зерновых) класса река море. Длительно.Не менее года. Работа в бассейне Дон-Волга-Каспийское море. Интересует тайм-чартер […]
  • Закон о гражданской службы рд Закон Республики Дагестан от 12 октября 2005 г. N 32 "О государственной гражданской службе Республики Дагестан" Закон Республики Дагестан от 12 октября 2005 г. N 32 "О государственной гражданской службе Республики Дагестан" (с […]